수열이 어떤 것인지는 대략적으로 알고 있으신가요?

이에 따라 답변 수준이 달라질 것 같습니다만 모른다는 전제 하에 설명하겠습니다.

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수열은 수의 나열입니다.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... 이런 식으로 나열될 수도 있고

3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ... 이런 식으로 나열될 수도 있습니다.

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자연수 집합에서 실수 집합으로 대응되는 함수라고 볼 수도 있습니다.

각각을 항이라고 하고, 첫째항 둘째항 셋째항이라 부르거나 a1, a2, a3 이런 식으로 아래쪽에 첨자를 붙입니다.

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규칙이 있든 없든 모두 수열이지만 규칙성이 있는 수열을 활용하면 유용하게 쓸 수가 있습니다.

대표적으로 규칙을 지닌 수열로서 등차수열과 등비수열이 있습니다.

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그리고 규칙이 있는 수열에 대해 n번째 수의 값은 얼마인가를 일반화할 수도 있을 것입니다.

이게 일반항이고 a_n 으로 표기합니다.

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일반항 a_n 을 직접적으로 알지는 못해도 종종 다음 항과의 관계를 통해 재귀적으로 식을 세울 수 있는 경우가 있는데 이 항들과의 관계를 나타낸 것이 점화식입니다.

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항들과의 관계를 나타내고 있는 것이기 때문에 항에 대한 초기 정보가 필요합니다. 초기값을 설정해 주면 항들을 특정할 수 있습니다.

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위는 피보나치 수열이고

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... 이런 식으로 갑니다.

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참고로 피보나치 수열의 일반항은

점화식과 일반항 둘 다 적절히 활용하여 수열을 표현할 수 있습니다.

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다만 점화식을 일반항으로 바꾸는 건 쉽지 않을 수 있습니다.

등차수열이나 등비수열의 경우는 쉽게 바꿀 수 있습니다.

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1. 하노이 탑 공식 유도할 때 양변에 1을 더해야 하는 이유

양변에 1을 더하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

치환하면 등비수열을 얻는데 등비수열의 경우 점화식에서 일반항을 얻는 것이 매우 쉽습니다.

그래서 1이라는 적절한 수를 더해서 치환 가능하도록 바꿔준 것입니다.

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2. 점화식이란?

위에서 설명드렸듯이 항들 사이의 관계입니다.

a_(n+2) 와 a_n 의 관계가 될 수도 있고, a_n 과 a_(n+1) 의 관계가 될 수도 있고

세 항들 사이의 관계가 될 수도 있습니다.

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3. 계차수열의 오타가 아닐까 생각해 봅니다.

계차수열은 원래 수열의 차로 이루어진 수열입니다.

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원래 수열이

3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6 이면 계차수열은

-2, 3, -3, 4, 4, -7, 4 이런 식으로 뒷항에서 앞항을 빼는 겁니다.

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규칙이 잘 안 보이는 수열도 계차수열로 만들면 규칙이 드러나는 경우가 종종 있습니다.

그래서 계차수열이 나오게 됩니다.

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(수열은 사실 고등학교 1학년 때 배웁니다.)

참고가 되었기를...