선택 공리(Axiom of Choice; AC)는 집합에서 원소를 뽑을 수 있다는 공리입니다. 조금 더 구체적으로, 아무 집합들의 모임을 던져줘도, 그 모임에 속한 각각의 집합에서 원소를 하나씩 뽑을 수 있다는 것이 이 공리의 내용입니다.

너무나도 당연해보이는 주장이라 아마도 지금쯤 '왜 이런 뻔한 주장이 공리로서 채택되어야 하지?'라는 질문을 떠올리고 계실 겁니다. 이에 대한 대답은, 많은 집합들은 그 원소가 정확히 무엇인지를 구체적으로 나타낼 수 없기 때문입니다.

예컨대 모든 무리수의 집합을 생각해보죠. 이 집합은 소위 비가산집합(uncountable set)이 됩니다. 즉 자연수에서 무리수로 가는 전사함수가 존재하지 않습니다. 한편, 어떤 실수를 이름붙이려면 그 원소를 수학적 문장으로서 표현할 수 있어야 합니다. 예컨대 √2 는 제곱하여 2가 되는 유일한 양수로 정의할 수 있고, 원주율은 잘 정의된 유리수열의 극한으로 정의할 수 있습니다. 그런데 모든 가능한 문장의 집합은 가산집합이므로, 이름붙일 수 있는 실수는 기껏해야 가산개입니다. 따라서 거의 모든 무리수는 그 개개의 무리수를 따로 정의하는 것조차 불가능합니다. 이처럼 그 원소들이 어떻게 생겼는지조차 알 수 없는 상황에서 어떻게 무리수 집합 혹은 그 부분집합들의 원소를 뽑는다는 것을 상상할 수 있을까요? 그래서 그것을 가능하게 해 주는 장치가 필요하고, 선택 공리가 바로 그 역할을 해 줍니다.

좀 더 일반적으로, 어떤 집합이 존재한다는 주장과 그 집합의 원소를 우리가 파악하고 있다는 주장은 전혀 별개의 주장이며, 실제로 집합론(ZF 공리계) 하에서 만들어낼 수 있는 대부분의 집합은 그 대부분의 원소들을 우리가 영원히 알 수 없습니다. (당장에 자연수의 멱집합만 봐도 그렇죠.) 그렇기에 원소들이 어떻게 생겼는지 몰라도 일단 원소를 뽑을 수는 있다고 보장해 주는 장치가 필요하고, 선택 공리가 그 역할을 해 줍니다.