공리에 대해서 비교적 잘 알고 계시는군요. 

공리는 그것이 맞다고 해도 다른 수학적 내용에 모순이 생기지 않기 때문에 우리가 맞다고 인정하는

수학적 내용입니다. 따라서 증명의 대상이 아니죠. 증명의 대상은 정리이죠.

그리고 우리는 그 공리 하에서 여러 정리들을 만들어나가죠.

따라서 공리를 처음과 다르게 설정한다면, 그 뒤에 나오는 정리들이 바뀔 수도 있습니다.

아무튼, "정수에는 양의 정수, 음의 정수, 0만 있다" 는 공리가 아닙니다. 나중에 대학에 가시면, 공리로부터 자연수를 정의하고, 이를 확장하여 정수를 정의하고, 이를 확장하여 유리수를 정의하고, 이를 확장하여 실수를 정의하죠.

위의 문제를 설명할 때는 "정수는 양의 정수, 음의 정수, 0만이 있다" 라고 간단하게 설명하시는 것이 가장 좋을 것 같습니다. 그 앞에 "공리를 사용한다"라는 표현을 사용하려면 어떤 공리를 어떻게 사용했는지 설명해야 하는데, 이를 설명하려면 대학에서 배우는, (윗 내용)정수의 정의 과정을 설명해야 할 것입니다. 그런데 이는 문제의 핵심에서 많이 벗어난 내용이므로 안 넣는 것이 좋을 것 같습니다.

대표적인 공리로는 유클리드의 기하학 공리 중 하나인 다음과 같은 것이 있습니다.

"임의의 점을 중심으로 하고 임의의 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다."

너무나 당연한 내용이죠? 그러니 공리죠.

이렇듯 공리 중에는 너무나 명백하고, 기초적이라서 어떻게 증명할 수 없는 것들이 많죠.