17χ²-16lχly+17y²=225

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직교하는 두개의 타원을 이용하여 그림을 그립니다.
장축의 길이를 a, 단축의 길이를 b라고 했을때, 옆으로 넢적한 타원의 방정식은
x²/a² + y²/b² = 1 입니다.
이것을 반시계 방향으로 45도 회전이동을 시키면, 일차변환의 행렬을 이용하여,
(a²+b²)x²+(a²+b²)y²-2(a²-b²)xy=2a²b² 를 얻습니다.
하트의 모양을 만들기 위해서는 x>=0 인 부분과 x<0 인 부분을 나누어 그려 반쪽씩 택해야 하므로, x에 절대값을 씌웁니다.
그런데, |x|² 의 값과 x² 의 값이 일치하므로,
방정식은 다음과 같습니다.

(a²+b²)x²+(a²+b²)y²-2(a²-b²)|x|y=2a²b²

위의 식의 a, b값에 아무 숫자나 넣어보십시오.
뚱뚱한 하트, 홀쭉한 하트, 윗부분의 가운데 옴폭 들어간 부분이 얕은 하트, 많이 들어간 하트 다양한 형태의 하트가 나옵니다.

드라마에서 나온 하트방정식은 a=5, b=3 를 대입시킨 식으로 정리하면,
17x² + 17y² - 16|x|y = 255 이 나옵니다.

이것을 수학전공자가 아닌 보통 사람들이 그리려면,
좌표평면에서, (5, 0), (-5, 0), (0, 3), (0, -3) 네개의 점을 부드러운 곡선으로 연결하여 마치 럭비공같은, 약간 찌그러진 원의 형태인 타원을 그립니다.
다음으로, (3, 0), (-3, 0), (0, 5), (0, -5) 네개의 점을 똑같은 방법으로 연결하여 타원을 그립니다. 다음 두 도형을 한꺼번에 시계 반대방향으로 45도 회전을 시키세요.
그러면 x축을 중심으로 왼쪽과 오른쪽에 하트의 반쪽이 각각 보일 겁니다. 그부분을 찾아 예쁘게 연결하여 하트를 그린 다음 나머지 부분을 지우개로 깨끗이 지우세요. 그것이 바로 위 방정식의 그래프에 해당합니다.

저는, 그 하트가 좀 뚱뚱해 보여서, a=2, b=1을 넣어보았습니다.
그랬더니 방정식은 훨씬 더 간단하게 5x² + 5y² - 6|x|y = 8 이 나오고, 하트는 더 예쁘게 나오더라구요. 가로 세로의 비가 2:1인 타원을 이용한 것인데, 이를 그리려면, (2, 0), (-2, 0), (0, 1), (0, -1) 네개의 점을 연결하여 타원을 그리고, (1, 0), (-1, 0), (0, 2), (0, -2)를 연결하여 타원을 그려 마찬가지로 45도 회전시켜 하트 형태를 찾아내면 됩니다.

이것은 제가 드라마에 나온 방정식의 계수들이 너무 복잡해서 맘에 안들어서 방정식을 간단히 만들기 위해 그러한 숫자를 넣은 것이고, 가로 세로의 비가 2.8:1정도가 예쁘게 나오는 것 같아요.

즉, 하트의 모양을 약간씩 변형하자면, 또는 크기를 약간씩 변형하자면, 드라마에서 나온 사랑의 방정식 이외에도 무수히 많은 방정식을 만들어 낼 수가 있고, 더군다나 계수도 더욱 간단히 만들 수 있답니다.

글고 밑에꺼도 되는데요

r = a (1 - cos θ ) 또는 ( x² + y² - ax )² = a² ( x² + y² )

r = 5 sin θ - sin (5θ)